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28/01/2022

EXPRESIONES ALGEBRAICAS

Una expresión algebraica es la escritura combinada de signos de operación +, -, x,…, de relación =, >,

28/01/2022

Clases de funciones
Decimos que f es UNO a UNO o inyectiva, si a cada elemento del dominio le corresponde imagen diferente al codominio.
Por último, si f es UNO a UNO y sobreyectiva, entonces f es biyectiva.
Ejemplos típicos

28/01/2022

Funciones
Decimos que f es una función de A en B si a cada elemento de A le hace corresponder uno y solo uno en B; por medio de una regla de asociación, se representa f: A → B.
El dominio de f es el conjunto de A o conjunto de partida o salida.
El codominio de f es el conjunto B o conjunto de llegada.
El recorrido o rango de f, es el subconjunto de B, que son imágenes de los elementos del dominio de la función f.
Si (x, y) pertenece a la función f, entonces y es la imagen de x por medio de la función f.
Ejemplo: f(x) = x + 1
f(1) = 1 + 1 = 2 (1, 2)
f(2) = 2 + 1 = 3 (2, 3)
f(3) = 3 + 1 = 4 (3, 4)
f(4) = 4 + 1 = 5 (4, 5)

D(f) Dom f = {1, 2, ,3, 4}
Cd(f) Codom f = {3, 4, 5, 6}
R(f) = {3, 4, 5, 6}
Para este caso el codominio es igual al recorrido Cd(f) = R(f)

El diagrama Sagital el diagrama Cartesiano (tomar del libro)

28/01/2022

Relaciones
A todos los subconjuntos que cumplan la condición dada y que además sean subconjuntos de un producto cartesiano, los llamamos relaciones; una relación R de A en B es un subconjunto del producto cartesiano de A, B.

El dominio de R (relación), es el conjunto formado por los primeros elementos de las parejas ordenadas que están en R; el recorrido de R, es el conjunto formado por los segundos elementos de las parejas que están en R, la notación de cada uno es la siguiente:
Dominio de R; Dom R, D(R) o DR
Recorrido de R; Rec R, R(R) o RR
Una relación R definida de A en B: es reflexiva, si cada elemento está relacionado consigo mismo, es decir si x ∈ A entonces (x, x) pertenece a la relación R.
Es simétrica, cuando (x, y) ∈ R, entonces (y, x) ∈ R
Es Transitiva, cuando (x, y) ∈ R, y, (y, z) ∈ R entonces (x, z) ∈ R
Es de equivalencia, si cumple las tres propiedades reflexiva, simétrica y transitiva.
Ejemplo: la relación con la condición:
“Tener la misma edad que”
U = conjunto de todas las personas del colegio.
Es reflexiva, pues x tiene la misma edad que x
Es simétrica, pues, si x tiene la misma edad que y entonces y tiene la misma edad que x.
Es transitiva, pues, si x tiene la misma edad que z entonces x tendrá la misma edad de z; por lo tanto esa relaciona así definida es una relación de equivalencia.
Una relación se puede representar por un diagrama
Relación de equivalencia (diagrama del libro)

28/01/2022

Subconjunto
Se dice que A es un subconjunto de B, A ⊂ B, si todos los elementos de A pertenecen también a B.
Ejemplo: Sea A = {1, 3, 4} B= {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, A ⊂ B; en el ejemplo, en B existen elementos que no pertenecen a A; por lo tanto, se dice que A es un subconjunto propio de B
Un subconjunto no es subconjunto propio de sí mismo, por lo tanto no se puede escribir que A ⊂ A.
El conjunto vacío es subconjunto de todo conjunto.

Partes de un Conjunto
El conjunto partes de A, está formado por todos los subconjuntos de A; se representa P(A).
Ejemplo:
(1) Sea A = {1, 2,}; P(A): { Ø, {1}, {2}, {1,2}}
(2) Sea A = {1, 2, 3}; P(A): { Ø, {1}, {2}, {3} {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}}
Si el conjunto A tiene n elementos entonces P (A) tiene 2n elementos.
Ejemplo: si A tiene 2 elementos; P (A) = 22 = 2 x 2 = 4; partes de A tendrá 4 elementos.
Si A tiene 3 elementos; P (A) = 23 = 2 x 2 x 2 = 8; partes de A tendrá 8 elementos.
Dos conjuntos son coordinables si a cada elemento del primero le corresponde un único elemento del segundo, y a cada elemento del segundo le corresponde un único elemento del primero.
Dos conjuntos son equipotentes cuando entre sus elementos se puede establecer una correspondencia biunívoca, es decir, tienen el mismo cardinal. Cardinal del conjunto A, es el numero de elementos de A; se denota n(A); siendo A un conjunto finito.
Ejemplo: sea A = {a, e, i, o, u}
B= {1, 2, 3, 4, 5}
A y B son coordinables
Producto cartesiano
A X B = {(x, y) /x ∈ A, y, y ∈ B}; se define como un conjunto de parejas ordenadas cuyo primer elemento x (componente) pertenece a A, y segundo elemento y (componente) pertenece a B.
Ejemplo: sea A = {1, 2, 3, 4} B = {5, 6}
A X B = {(1, 5), (1, 6), (2, 5), (2, 6), (3, 5), (3, 6), (4, 5), (4, 6)}

28/01/2022

Operaciones entre conjuntos
Intersección
A intersección B, se representa A ∩ B y se define:
A ∩ B = {x/x ∈ A, x ∈ B}; Es el conjunto formado por los elementos que están en A y están en B, es decir, elementos comunes a los dos conjuntos.
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B= {2, 3, 4, 5, 6, 7}
A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6}

Unión
A unión B, se representa A ∪ B y se define:
A ∪ B = {x/x ∈ A, y/o, x ∈ B}; Es el conjunto formado por los elementos que están en A o están en B, o están en ambos, es decir, elementos comunes y no comunes a los dos conjuntos.
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B= {2, 3, 4, 5, 6, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Diferencia
A menos B, se representa A – B y se define:
A – B = {x/x ∈ A, y, x ∉ B}; Es el conjunto formado por los elementos que están en A pero no están en B.
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B= {2, 3, 4, 5, 6, 7}
A – B = {1} B – A = {7}

Diferencia simétrica
A diferencia simétrica con B, se representa A ∆ B y se define:
A ∆ B = {x/x ∈ (A ∪ B) y x ∉ (A ∩ B)}; es el conjunto formado por los elementos que están en la unión, pero no están en la intersección.
Ejemplo: Sea A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}; B= {2, 3, 4, 5, 6, 7}
A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} A ∩ B = {2, 3, 4, 5, 6}
A ∆ B = {1, 7}

Complemento
El complemento de un conjunto A, se denota A’ o A∁ y se define:
A’ = {x/x ∈ U, y, x ∉ A}, siendo U el conjunto referencial.
Ejemplo: Sea U = {0,1, 2, 3, 4, 5}; A = {3, 4}
A’ = {0, 1, 2, 5}
Representación graficas de las operaciones entre conjuntos en el diagrama de VENN

28/01/2022

Conjuntos

Definición de un conjunto: Es una colección de objetos bien determinada.
Ejemplo: El conjunto de los números dígitos.
Los objetos que forman un conjunto se llaman elementos; dichos objetos pertenecen al conjunto; se utilizan los símbolos ∈ (pertenece) y ∉ (no pertenece).
Los conjuntos se pueden nombrar por extensión o por comprensión.
Por extensión: cuando se nombra y enumera cada elemento del conjunto.
Por comprensión: cuando se determina la característica común a todos los elementos.
Ejemplo: el conjunto de las vocales es un conjunto enunciado por compresión.
A = {a, e, i, o, u} es un conjunto enunciado por extensión.
Existen dos clases especiales de conjuntos: el conjunto universal (U), el cual contiene todos los elementos posibles, y el conjunto vacío, que carece de elementos y se representa Ø o { }.

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