09/09/2026
Tout sur les Équations du Premier Degré à une Inconnue
1. Qu'est-ce qu'une équation du premier degré ?
Une équation est une égalité mathématique qui contient une ou plusieurs inconnues (souvent notées x ).
Elle est dite du premier degré lorsque l'inconnue x n'apparaît qu'à la puissance 1 (on dit que son exposant est 1).
Par exemple : 3x + 2 = 11 est une équation du premier degré. En revanche, x^2 + 1 = 5 ne l'est pas (c'est un degré 2).
La forme générale d'une équation du premier degré à une inconnue est :
ax + b = 0
où a et b sont des nombres connus (avec a \neq 0 ).
2. Le but : trouver la solution
Résoudre une équation, c'est trouver la valeur de x qui rend l'égalité vraie. Cette valeur s'appelle la solution de l'équation.
Pour notre exemple 3x + 2 = 11 , on cherche le nombre qui, multiplié par 3 et ajouté à 2, donne 11. La solution est x = 3 (car 3\times3 + 2 = 11 ).
3. Les deux règles d'or pour résoudre
Pour trouver x , on doit "isoler" l'inconnue d'un côté du signe = . Pour cela, on utilise deux règles fondamentales :
· Règle n°1 : On peut additionner ou soustraire le même nombre aux deux membres de l'équation.
· Règle n°2 : On peut multiplier ou diviser par le même nombre (non nul) les deux membres de l'équation.
4. La méthode de résolution en 4 étapes
Prenons un exemple complet : Résoudre 5x - 7 = 3x + 9 .
· Étape 1 : Regrouper les termes en x dans le membre de gauche
On soustrait 3x des deux côtés :
5x - 7 - 3x = 3x + 9 - 3x
Ce qui donne : 2x - 7 = 9
· Étape 2 : Regrouper les termes constants (les nombres) dans le membre de droite
On additionne 7 des deux côtés :
2x - 7 + 7 = 9 + 7
Ce qui donne : 2x = 16
· Étape 3 : Isoler x en divisant par le coefficient
Le coefficient de x est 2. On divise les deux côtés par 2 :
\frac{2x}{2} = \frac{16}{2}
Ce qui donne : x = 8
· Étape 4 : Vérifier (facultative mais recommandée)
On remplace x par 8 dans l'équation de départ :
5\times8 - 7 = 40 - 7 = 33
3\times8 + 9 = 24 + 9 = 33
L'égalité est vérifiée. La solution est bien x = 8 .
5. Les cas particuliers (pièges à éviter)
Parfois, les équations peuvent avoir des formes un peu différentes :
· Équation avec parenthèses : Il faut d'abord les développer.
Exemple : 3(x + 2) = 15 devient 3x + 6 = 15 , puis on résout normalement.
· Équation avec fractions : On peut tout multiplier par le dénominateur commun pour se débarrasser des fractions.
Exemple : \frac{x}{2} + 1 = 3 devient, après multiplication par 2, x + 2 = 6 .
· Équations particulières :
· Si tu arrives à 0x = 0 (comme 2x - 4 = 2(x - 2) ), cela signifie que tous les nombres sont solutions. On dit que l'équation est une identité.
· Si tu arrives à 0x = 5 (comme 2x + 1 = 2x + 6 ), cela signifie qu'aucun nombre ne peut rendre l'égalité vraie. On dit que l'équation est impossible (solution vide).
6. Pourquoi c'est important en 3 AC ?
Maîtriser les équations du premier degré est indispensable car c'est l'outil de base de tout le programme de mathématiques au collège et au lycée. Elles te serviront pour :
· Résoudre des problèmes de géométrie (calculer une longueur inconnue).
· Résoudre des problèmes de la vie courante (partage d'argent, âges, vitesses).
· Résoudre des inéquations (que tu verras bientôt).
· Comprendre les fonctions affines.
